\section{Praktische Anwendungen}

\subsection{Filter digitalisieren}
Als Eingangssignal kann ein beliebiges Signal verwendet werden.
Das gleiche Signal wird auf einen unbekannten analogen oder digitalen Filter gegeben.
Das Ausgangssignal des Filters wird als Stellgröße verwendet.
Der adaptive Filter gleicht die Gewichte an, dass der Filter, der das Stellgrößensignal ausgibt, nachgebildet wird.

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\begin{figure}[htp]
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/inversemodelling2.pdf}
  \caption[Inverse Modelling]{Schema um einen analogen Filter mit einem adaptiven Filter zu digitalisieren.}
  \label{figureLabel}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{\em Adaptive Noise Cancellation}
\label{kap:noisecancelling}
Adaptive Filter können zur Rauschminderung verwendet werden.
Dazu muss man die Struktur des Filters aber überdenken.
Normalerweise braucht der Filter ein Eingangssignal \(X_k+N_k\) und eine Führungsgröße \(D_k\).

Hätte man aber ein Signal ohne auf addierten Fehler \(X_k\), bräuchte man auch keinen adaptiven Filter.
Deswegen benutzt man eine zweite Eingangsgröße  \(N_{k}'\), und zwar nur das Rauschen, ohne den Signalanteil, wie in Abbildung \ref{fig:adaptnoise} gezeigt.
Das Rauschen wird in dem adaptiven Filter verarbeitet, dabei entsteht das Signal:
\begin{equation} 
y= N_k' W_k
\label{eq:noiseinput}
\end{equation} 

Nach dem Summierer erhält man:
\begin{equation} 
\epsilon_k= X_k+N_k-(N_k'W_k) 
\label{eq:noiseoutput}
\end{equation}
Das bedeutet also, dass man davon ausgeht, dass der adaptive Filter das Signal \(N_k'\) so lange anpasst, bis \(N_k'=N_k\).

Bei dieser Anwendung kann \(\epsilon_k\) nie 0 werden, da immer das gewünschte Eingangssignal in dem Term enthalten ist.
Aber der adaptive Algorithmus sucht das Minimum, und optimiert die Gewichte.

\begin{figure}[htp]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.6\textwidth]{Bilder/adaptivenoisecancelling2.pdf}
  \caption[Adaptive Noise Cancelling]{Filteraufbau für eine adaptive Rauschunterdrückung. Frei übernommen aus \cite[S. 305]{widrow1985adaptive}}
  \label{fig:adaptnoise}
\end{center}
\end{figure}